三点共线与三线共点的证明方法
一、三点共线的常用证明方法
（一）利用平角180°
例1 如图，点D是等腰直角三角形ABC内一点.将△ADC绕点C顺时针旋转90°得到△BEC，点D的对应点为点E.
（1）如果AD：CD：BD=1：2：3，求证：A，D，E三点共线；
（2）如果A，D，E三点共线，AD，CD，BD满足什么样的关系？
解析：（1）连接DE，欲证A、D、E三点共线，只需要证明∠ADE=180°，即证∠ADC+∠CDE=180°.
由旋转，可知：CD=CE，∠DCE=90°，AD=BE，∠ADC=BEC，
所以△CDE是等腰直角三角形，
所以∠CDE=∠CED=45°，
因为AD：CD：BD=1：2：3，
所以可设AD=BE=a，CD=2a，BD=3a，
则DE=2√2a，
所以BE2+DE2=a2+8a2=9a2=BD2，
所以∠BED=90°，
所以∠CEB=135°=∠ADC，
所以∠ADE=135°+45°=180°，
所以A、D、E三点共线；
（2）逆着（1）的思路可知：如果A，D，E三点共线，AD，CD，BD满足的关系是：AD2+2CD2=BD2.
（二）利用平行公理
例2 如图，等边△ABC中，D为AB边上一点（点D不与点A、B重合），连接CD，将CD平移到BE（其中点B和C对应），将△BCD绕着点B逆时针旋转至△BAF，求证：D、F、E三点共线.
解析：连接DE，DF，欲证D、F、E三点共线，只需要证明DE，DF平行于同一条直线即可.
由平移可得：BE平行且等于CD，
所以四边形BCDE是平行四边形，
所以DE//BC；
由旋转，得：BF=BD，∠DBF=∠DBC=60°，
所以△BDF是等边三角形，
所以∠BDF=60°=∠DBC，
所以DF//BC，
由平行公理可知DE、DF是同一条直线，
所以D、F、E三点共线.
二、三线共点的常用证明方法
（一）转化为三点共线的证明
例3 如图，菱形ABCD中，∠B=60°，P是BC延长线上一点，连接AP.点M是线段AP上的点，满足∠AMC=120°，求证：直线AB，CM，PD相交于同一点.
解析：首先设AB、CM相交于点O，连接OD，则欲证直线AB，CM，PD相交于同一点，只需要证明O、D、P三点共线即可.
因为四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
所以△ABC和△ACD都是等边三角形，
所以∠CAD=60°，
即∠CAM+∠MAD=60°，
因为∠AMC=120°，
所以∠CAO+∠ACO=60°，
所以∠MAD=∠ACO，
又因为AD//BP，
所以∠MAD=∠APC，
所以∠ACO=∠APC，
又∠OAC=∠ACP=120°，
所以△ACO∽△CPA，
所以AC：CP=AO：AC，
因为AC=CD=AD，
所以CD：CP=AO：AD，
因为∠OAD=∠DCP=60°，
所以△OAD∽△DCP，
所以∠ODA=∠DPC，
所以∠ODP=∠ODA+∠ADC+∠CDP
=∠DPC+∠DCP+∠CDP
=180°，
所以O、D、P三点共线，
所以直线AB，CM，PD相交于同一点O.
（二）利用同一法则
例4 如图，矩形ABCD中，E是BC上的动点，延长EB到F，使BF=BE，G为AD的中点，求证：直线AE，BG，DF三线共点.
解析：设AE、DF相交于点O，连接BO并延长交AD于H，则欲证直线AE，BG，DF三线共点，只需要证明BG和BH是同一条直线，即证点H是AD的中点即可.
因为AD//BC，
所以△OAH∽△OBE，
所以AH：BE=OH：OB，
同理，DH：BF=OH：OB，
所以AH：BE=DH：BF，
因为BE=BF，所以AH=DH，
所以H是AD的中点，
因为G是AD的中点，
所以BH和BG是同一条直线，
所以直线AE，BG，DF三线共点.
