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圆面积计算公式推导过程(趣味数学|圆面积公式的多种方法推导)

30次浏览     发布时间:2022-12-18 11:24:29    

圆面积公式的推导,中间包含有朴素的极限、积分思想(无穷切割到无穷小后累加)和微积分思想。当然,该公式包含π,自然是以圆周公式2πr为基础。

1 圆面积夹逼于内切和外四边形

如下图,圆的面积应该大于内切四边形面积:

比较接近于

4 化圆为三角

把圆分成n个大小递减的圆环可以堆叠成一个三角形:

每个圆环面积 ≈ 每个长方形面积

也就是古老的割圆术:

6 利用微积分

圆心在原点,半径为

时,是一一对应关系,可以看出函数
基本微积分知识告诉我们,当我们求积分时,就是求半圆的面积,于是利用对称性,我们可知
可以利用第一换元积分法等方法求出该积分的值,最后结果就是

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