一元二次方程的整数根问题

已知关于x的方程mx²+（3-m）x-3=0(m为实数，且m≠0)

(1) 求证：此方程中有两个实数根；

(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.

例题剖析

(1) 证明方程总有两个实根，首先此方程应为一元二次方程，即二次项系数不为0.在此基

础上，求解判别式，通过将判别式配方，判断判别式不小于0,即可得证.

(2) 由(1)知，方程有两个实根，利用公式法或十字相乘法求解方程的根，再根据根是正整

数的条件，分析整数m的取值，即可求解.

(1)因为m≠0,所以方程mx²+（3-m）x-3=0为一兀二次方程.

根据判别式，得△=(3-m)²+12m=9-6m+m²+12m=m²+6m +9=(m+3)².

因为无论m取何实数，总有(m+3)²≥0,所以此方程总有两个实数根.

（2）

因为此方程的两个实数根都为正整数，所以整数師的值为-1或-3.

考察一元二次方程的整数根，要分3个层次：

注意两点：得到的判别式若是关于m的二次三项式，一般先进行配方，再利用平方的非负性进行符号判断；也可以把式于看成关于参数的二次函教，通过求解二次函数的函数值的范围.从而确定判别式符号.

求解含参数的一元二次方程的根，根据方程结构正确选择方法。配方法有时较为复杂，较为常见的方法是公弍法，但要注意求根公式的正确性，并且正确地找到各个系数。因弍分解法包括十字相乘法，也是求根常见的方法，且比较灵活，甚至在一定程度上，十字相乘法更能简捷和迅速地求解根.

如果已知一个根，还可以利用根与方程的关系.把根代入方程求解参数.如果已知参数的取值范围，也可以在这个范围内筛选有限的几个可能整数值，再根据所给条件逐一判断是否能得到整数解.

配套习题1

配套习题2

配套习题3