梯形面积公式推导过程(梯形的面积公式,有这5种转化方式来推导,你了解么?)

前面,我们用转化的方法推导出来平行四边形、三角形的面积计算公式,这里,同样可以用转化的方法,把梯形转化成已学过的图形,来推导梯形的面积计算公式。本课还是以“解决问题”入手,通过解决“车窗的玻璃形状是梯形,怎样求出它的面积呢?”这个问题,从而引出下面5种方法来推导梯形的面积计算公式。

梯形面积公式推导过程(梯形的面积公式,有这5种转化方式来推导,你了解么?)

1.拼组法(1):用两个完全一样的梯形,拼成一个平行四边形。

把2个完全一样的梯形,进行方向的调整后,拼组成一个大的平行四边形。这时,平行四边形的底=梯形的上底+下底,平行四边形的高=梯形的高,而平行四边形的面积=底×高,即(梯形的上底+下底)×高,又因为这个大平行四边形面积是梯形面积的2倍,因此,平行四边形的面积 =2个梯形的面积=(上底+下底)×高。由此推出:一个梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。

梯形面积公式推导过程(梯形的面积公式,有这5种转化方式来推导,你了解么?)

2.拼组法(2):用两个完全一样的直角梯形,拼成一个长方形。

其实,这种“拼组法”是上一种拼组法的特殊形式。如果两个完全一样的梯形是直角梯形的话,它们不仅能拼成“平行四边形”,还能拼成“长方形。”由图所知,长方形的长=梯形的上底+下底,长方形的宽=梯形的高,而长方形的面积=长×宽,即(梯形的上底+下底)×高,又因为这个大长方形面积是梯形面积的2倍,因此,长方形的面积 =2个梯形的面积=(上底+下底)×高。由此推出:一个梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。

梯形面积公式推导过程(梯形的面积公式,有这5种转化方式来推导,你了解么?)

3.分割法(1):把梯形分割成一个小三角形和一个大三角形。

从梯形上底的一个顶点,往下底的一个顶点作对角线,这个对角线把梯形分割成了一个小三角形和一个大三角形。两个三角形的高都是一样的,而小三角形的底是梯形的上底,大三角形的底是梯形的下底,因此小三角形的面积=上底×高÷2,大三角形的面积=下底×高÷2,从而推出:梯形的面积=小三角形的面积+大三角形的面积=上底×高÷2+下底×高÷2=(上底+下底)×高÷2。

梯形面积公式推导过程(梯形的面积公式,有这5种转化方式来推导,你了解么?)

4.分割法(2):把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。

从梯形上底的一个顶点,往下底的边上做一条分割线,把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。这两个图形的“高”都是一样的,平行四边形的底是梯形的上底,三角形的底是梯形的(下底-上底),所以,梯形的面积=平行四边形的面积+三角形的面积=上底×高+(下底-上底)×高÷2=(上底+下底)×高÷2。

梯形面积公式推导过程(梯形的面积公式,有这5种转化方式来推导,你了解么?)

5.割补法:把梯形“割补”转化成一个平行四边形。

把梯形上底沿着高的一半进行对折,使对折线平行于上底和下底,再把下半部分的一个角掀起来折叠,将下半部分分割成一个小三角形和一个小平行四边形,接着把这个小三角形剪下,补在上半部分的小梯形边上,拼组成一个平行四边形。这个平行四边形的高和梯形的高一样,平行四边形的底是梯形的上底与下底的和的一半,所以:梯形的面积=平行四边形的面积=底×高=(上底+下底)×高÷2。

梯形面积公式推导过程(梯形的面积公式,有这5种转化方式来推导,你了解么?)

梯形的面积,公式推导其实和平行四边形面积、三角形面积的推导方法类似,都是遵循以“旧”导“新”的原则展开的。说到底,就是在我们学习“新知”的时候,一定要联系“旧知”,用“转化”的思想进行知识的迁移。有了这个方法,许多看似较难的问题都能迎刃而解。

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