拉马努金公式大全(拉马努金恒等式,一个初中生能看懂并能证明的神奇公式)

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-01-拉马努金恒等式

2016年4月8日在英国上映了一部名叫《知无涯者》的电影。电影讲述了印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金(1887.12.22~1920.4.26),

短暂而传奇的一生。拉马努金出生贫寒,没有受过专门的数学训练,但天资聪颖,完全靠自学。直到1913年,得到英国数学家哈代的赏识,他的数学才华大放异彩。但他不同于传统意义上数学家,他的成果往往是凭直觉得到,只有结论,而没有证明。他短暂的一生发现了3900条数学公式和命题,许多结果完全是新颖的、原始的和非传统的,但被后续证明他的结论都是正确的。

本文要介绍的这个恒等式,就是拉马努金流传最广的成果之一。先看这个恒等式的一边:

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我相信大多数人能按照这个式子的规律接着写下去,但会发现这是无穷尽的,并且很好奇这个式子的结果到底是多少?

拉马努金说,这个式子的结果等于3。

他对形如上式的无穷二次根式,进行深入研究得到这个结果,并且将此发表在《印度数学会刊》上征集证明,数月内无人能应。

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-02-拉马努金恒等式的数学逻辑

下面我们以今天中学生的认知来看其中的数学逻辑:

3=√9。。。。。一层根号

=√1+8

=√1+2×4

=√1+2√16。。。。二层根号

=√1+2√1+15

=√1+2√1+3×5

=√1+2√1+3√25。。三层根号

=√1+2√1+3√1+24

=√1+2√1+3√1+4×6

=√1+2√1+3√1+4√36。四层根号

。。。。。。

由此不难发现:将3拆分后,含n层根号时,3=

√1+2√1+。。。n√(n+2)²

。。。n层根号

验证一下,n=10时(由外向内数,含10层根号),壮观景象:

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第10层根号里的数:

12²=144;

第9层根号里的数:

11²=121;

第8层根号里的数:

10²=100;

。。。

第3层根号里的数:

5²=25;

第2层根号里的数:

4²=144;

第1层根号里的数:

3²=9;

√9=3

理所当然是个恒等式。

-03-拉马努金恒等式的数学证明

问题来了,正整数3可以象这样用二次根式进行无穷拆分,那么其他正整数呢?他是怎么想到了呢?

平方差公式是初中代数中的最基本的公式之一:

a²-1=(a-1)(a+1);

变形得

a²=1+(a-1)(a+1);

a=√1+(a-1)(a+1)。

建立一个关于a的函数:

F(a)=a=√1+(a-1)(a+1),则

F(a+1)=a+1

=√1+(a+1-1)(a+1+1)

=√1+a(a+2)

=√1+aF(a+2)

F(a+2)=a+2

=√1+(a+2-1)(a+2+1)

=√1+(a+1)(a+3)

=√1+(a+1)F(a+3),

F(a+3)=a+3

=√1+(a+3-1)(a+3+1)

=√1+(a+2)(a+4)

=√1+(a+2)F(a+4)

F(a+n)=a+n

=√1+(a+n-1)(a+n+1)

=√1+(a+n-1)F(a+n+1)

通过层层嵌套,得到

F(a)=√1+(a-1)F(a+1)

=√1+(a-1)√1+aF(a+2)

=√1+(a-1)√1+a√1+(a+1)F(a+3)

=√1+(a-1)√1+a√1+(a+1)√1+(a+2)√1+。。。

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其中,a为正整数。

当a=2时,得到

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当a=3时,得到

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当a=4时,得到

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由此,可以把任意一个正整数,用二次根式有规律地无穷展开。

所以拉马努金恒等式,更一般的形式是:

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-04-结语

利用平方差公式和函数嵌套(复合函数)的思想,可以来说明他的正确性。虽然初中不提函数嵌套(复合函数)这种说法,但“整体思想”已经具备其雏形,所以上述证明过程,数学程度稍好的同学也可以看懂。

拉马努金没有受过正规的高等数学教育,但他靠自学沉湎于数论,尤其钟爱涉及π、质数等数学常数的求和公式和整数分拆。特别是他对数的直觉(数感)常常令人称奇,以至于亦师亦友的哈代感叹说:“我们学习数学,拉马努金则发现并创造了数学。”

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