正切公式推导过程(正切定理的证明)

大家熟知正弦定理和余弦定理,但还有正切定理不为人熟知。描述了直角三角形的边的差值和边的和与对应角的差值和和的一半的正切关系。 它表示三角形两个角的正切与对边长度的关系。 正切定律也适用于非直角三角形,它与正弦定律和余弦定律一样强大。 如果给定两个角和一条边或两条边和一个夹角,即角边角(ASA) 或边角边(SAS),可以用它来求三角形的其余部分。

正切公式推导过程(正切定理的证明)

为了更好地理解正切定理,你需要一些关于一般三角形的知识,即三角形的给定条件, 涉及的四种组合包括:

  • 两条边和一个对角
  • 一条边和两个角
  • 三边
  • 两条边及其夹角

正切定理的公式

假设有一个直角三角形ABC,其中∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c。 那么,根据正切定律,我们有以下三种关系:

正切公式推导过程(正切定理的证明)

正切公式推导过程(正切定理的证明)

正切定理的证明

根据正弦定理:

正切公式推导过程(正切定理的证明)

先证明(1)式, 将上式的比例设为k,

a = k sin A 和 b = k sin B

因此我们可知:

a – b = k (sin A – sin B)

a + b = k (sin A + sin B)

所以我们得出:

正切公式推导过程(正切定理的证明)

根据三角的和差化积的公式:

正切公式推导过程(正切定理的证明)

所以可证明出(1)式:

正切公式推导过程(正切定理的证明)

其它式子证明类似。

正切定理的练习:解三角形 已知a=5,b=3,∠C=96°,求出A – B的值。

解:我们知道,

∠A + ∠B + ∠C = 180°

∠A + ∠B= 180°- ∠C = 180° – 96° = 84°

根据正切定理:

正切公式推导过程(正切定理的证明)

可得:

正切公式推导过程(正切定理的证明)

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