球体积公式推导(父子合力,古代中国第一次得出球体积计算公式)

虽说近代中国对于世界数学的发展贡献很有限,但是时间要是往前倒退一千几百年,古代中国的数学成就是绝对可以屹立很久的。

《九章算术》这本书堪称我国数学发展上的史记,这本书继承了之前所有的数学成就,并将许多种问题归类,形成一本非常实用的应用题集。对于关于球的体积计算公式,这里也提到一个。

球体积公式推导(父子合力,古代中国第一次得出球体积计算公式)

《九章算术》里球体积的计算公式

你没有看错,作为一个球体的体积计算公式,这个公式里居然没有π的身影,因为这个公式是古人通过实测得到的!现在看来的确很荒诞,可是那个时候的人们的数学能力实在有限,就算有怀疑也仅仅是直觉上的,很难提出确凿证据,更别说改正这个公式了。

球体积公式推导(父子合力,古代中国第一次得出球体积计算公式)

刘徽

魏晋时期,我国诞生了一位非常伟大的数学家刘徽,如果不算20世纪,那么刘徽绝对是中国历史上成就最高的数学家。他的研究非常广泛,几乎涉及到古代中国所有的数学领域,建立了分数,方程理论,对割圆术有着比较深入的研究,他第一个求出了较为精确的π值。刘徽有两本著作流传于世,对后世影响极大,几乎成为了一千多年学习算术学的官方教科书。这就是《九章算术注》和《海岛算经》。在《九章算术注》里,刘徽正式提出了对上面计算公式的质疑。

这里刘徽构造了一个特殊的结构体,“牟合方盖”。

两个底面直径相同的圆柱体正交,公共的部分剥离出来,这个就是牟合方盖。

球体积公式推导(父子合力,古代中国第一次得出球体积计算公式)

牟合方盖

这个立体构造出来之后,我们发现,如果用一组平行与地面的面去截这个立体,横截面都是正方形,并且这个正方形刚好外接与某个球体在同一高度的横截面。这段话有点抽象,用下面的图形来表示。(这个图实在不好画,就直接在网上找了)

球体积公式推导(父子合力,古代中国第一次得出球体积计算公式)

刘徽这个时候其实已经知道了内接圆和外接正方形的面积是4:π,换句话说,这个牟合方盖的体积与内切球的体积比也是4:π。如果刘徽可以计算出牟合方盖的体积,那么球的公式就肯定能得到了。然而刘徽没有能够再前进一步,因为牟合方盖的构造方式虽然很简单,仅仅让两个等宽的圆柱体正交即可,但是要求出这公共部分却是很难的,至少在当时已经有了数学理论上。虽然刘徽没有跨进最后一步,但是他提出的这个牟合方盖的构造体却是极为正确的,这个方向没有问题。刘徽通过对这个牟合方盖体积的大致估算,也彻底否定了《九章算术》里原来的球体积计算公式。

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祖冲之

球体积公式推导(父子合力,古代中国第一次得出球体积计算公式)

祖暅

接下来总要有人来计算出正确的公式吧,这就要求着必须要有一套新的方法才能奏效。于是又过了两三百年,故事发生在祖氏家族。老爹祖冲之当然是闻名遐迩,应该算是一个著名的计算大师,那个圆周率小数点后7位的成就可不是盖的。这里,我们要说的是他儿子,祖暅。他们父子都是数学家,祖暅最著名的贡献就是祖暅原理。这里,摘取一下原理的精义:

“缘幂势既同,则积不容异。”

古人真是惜字如金,翻译过来就是:如果两个物体的截面积和高始终相等,那么体积也是相同的。

上个图就一目了然。

球体积公式推导(父子合力,古代中国第一次得出球体积计算公式)

很明显左边这是一摞书垂直摆放的状态,右边是逐步倾斜的摆放状态。我们可以想象,平行的面去截这摞书,每次的截面都是书页的大小,很明显,这两种摆放状态下,截面积总是相等的,高当然也是相等的。因为这根本就是一摞书的两种摆放状态而已,体积当然也是相等的。那么我们再举一个一般的例子,左右完全是两个不同的物体,但是也满足祖暅原理的要求,这个时候体积就不见得是那么好比较了。

球体积公式推导(父子合力,古代中国第一次得出球体积计算公式)

祖氏父子构造出的两个等体积物体

我们把祖冲之父子的推导过程摆上来。

球体积公式推导(父子合力,古代中国第一次得出球体积计算公式)

祖暅原理推导出球体积公式

由此,祖氏父子终于得到了正确的球体积公式,终于弥补了刘徽未尽的事业。

这里算是我国古代数学关于极限思想的又一次先驱体现,虽然,祖氏父子在著作中丝毫没有提到极限二字,然而这个原理背后的微积分雏形却相当明显。如果用现在微积分的思想去考虑,祖暅原理其实就是下面这个式子:

球体积公式推导(父子合力,古代中国第一次得出球体积计算公式)

祖暅原理 微积分表示

在横截面积已知的情况下,我们逐步去求高度的微分,如果能够得出解析式那就直接积分就可以到公式。假如高度的微分不容易得到,我们也可以分段来求微分,最后合并到一起去求积分即可。

利用祖暅原理可以求一些复杂物体的体积,求解过程的关键在于,如何去构造一个体积已知的物体,使得与所求物体横截面相同,高也相同。我相信,祖氏父子经过了无数次试验才最终构造了半球和被挖圆柱的例子。

当然了,现在有很多种方法都可以得到球体积的公式,甚至任何规则曲线绕轴旋转而形成的物体体积都是可以很轻松计算出来:

球体积公式推导(父子合力,古代中国第一次得出球体积计算公式)

曲线绕轴旋转形成的物体

球体积公式推导(父子合力,古代中国第一次得出球体积计算公式)

曲线绕轴旋转得到的体积公式

如果要计算球的体积公式,那么只要把圆的方程曲线代入到上面的公式里,直接就可以得到结果。

祖暅原理在世界上也领先了许多年,大约17世纪,意大利数学家卡瓦列里才提出类似的成果,算起来也比祖冲之父子的时代晚了1100多年。

老爹算圆周率,儿子算球体积,反正这对父子数学家真是跟圆有莫大的缘分啊。我又想起了欧拉和老师伯努利的故事,在学术研究上,没有比父子传承和师徒传承更加美好的事情了。

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