函数的连续性定义如下：
这个定义的意思就是说，对于定义域内与x0邻近的任一点x，x与x0的函数值之差，小于任何一个正数ε。但这个定义存在几个问题：
函数f(x)在(0,1)上是连续的，但却不是一致连续的：
那么，这表示什么意思呢？
连续的定义是对于点x和x0来说的，一致连续的定义则是对于点x1和x2来说的，前者的x是可变的，后者两个点都认为是确定的。
也就是说，f(x)=1/x这个函数可以保证在x0固定的前提下，当x向x0无限靠近的时候，其函数值的差Δy=0，可以认为x就是与x0相邻的那个点；但却无法保证当两个点都确定的时候，它们之间的函数值的差Δy也趋于0，即使这两个确定的点之间的间隔也可以无穷小。原因就在于，无论1/n和1/(n+1)如何靠近，这两个点之间总是存在着无穷多个其它的点，比如1/(n+0.1)，1/(n+0.01)，1/(n+0.001)，等。
这种情况是因为1/x靠近0点的时候，其函数值趋于无穷大而产生的：x越靠近0点，函数值1/x的变化就越大，以至于这个函数只能保证自变量x相邻两个点的函数值的变化也是无穷小，但却无法同样保证不相邻的两个点的函数值的变化也是无穷小。
因此，大概可以这样简单理解两者之间的差别：
连续是相对于点x0的相邻点而言的，而一致连续则是相对于非相邻的两个点来说的。
