定积分计算的国王法

这里我们所说的“国王法”其实是一个简单的线性变换。似乎它简单得不值一提,但我们觉得这可能是一个挺有用的方法。在英文文献里称之为“King Rule”或者“King’s Property”。我们不知道这个名称的来源,只能按字面意思翻译成“国王法”。

给定一个定积分,国王法说的是:

定积分计算的国王法

容易看出,这个公式可以通过线性变换得到定积分计算的国王法下图是示意图。

定积分计算的国王法

当a=0,国王法可以简化成:

定积分计算的国王法

我们来看一个具体的例子:计算

定积分计算的国王法

这是2018年印度工学院入学考试(Joint Entrance Examination)的一道题。记

定积分计算的国王法

运用国王法得到

定积分计算的国王法

将两式相加就得到

定积分计算的国王法

于是所求积分的值是π/4.

如果在上图中函数f(x)是关于过a和b的中点x=(a+b)/2的垂直直线对称的,那么有

定积分计算的国王法

我们再来看一个例子:计算积分

定积分计算的国王法

首先,利用国王法得到

定积分计算的国王法

将上面二式相加得到

定积分计算的国王法

注意到在(0,π)上函数lnsin(x)关于中点x=π/2是对称的,所以有

定积分计算的国王法

做一个简单的变换就容易看出,

定积分计算的国王法

将上面两式子相加得到,

定积分计算的国王法

再利用三角函数的性质

定积分计算的国王法

和一个简单的线性变换,我们最后可以得到

定积分计算的国王法

定积分计算的国王法

最后让我们留下三道题。第一道题可以让我们看到国王法的力量。对任意的正整数n,计算定积分

定积分计算的国王法

读者可能会注意到,上面的几个例子全部与三角函数有关。我们最后看两个其他的习题。

计算定积分

定积分计算的国王法

计算定积分

定积分计算的国王法

三个积分答案分别为:

定积分计算的国王法

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